黎曼将左边的求和式Σ(1/n^s)推广到了复数平面，这个新的函数就是大名鼎鼎的黎曼ζ函数：ζ(s)。
随后，黎曼做了两件惊天动地的事情：
解析延拓：他找到了一个方法，让ζ(s)在除了s=1这一点之外的所有复数点上都有定义。
功能性方程：他发现ζ(s)在复数世界里有一种完美的对称性，满足：ζ(s)=2^s*π^{s-1}*sin(πs/2)*Γ(1-s)*ζ(1-s)。
这个方程意味着，只要知道了ζ(s)在某一区域的值，就能通过对称性知道它在另一区域的值。
黎曼开始研究，在什么情况下，这个强大的ζ(s)函数的值会等于零？
他发现，当s=-2，-4，-6，...这些负偶数时，ζ(s)=0。
这些零点很容易找到，所以被称为‘平凡零点’。
剩下的那些‘非平凡零点’，它们才是真正的‘宝藏’。它们都神秘地分布在复数平面上的一个狭窄区域里，这个区域被称为临界带（即实部σ介于0和1之间）。
经过深入研究，黎曼提出了那个著名的猜想：
所有非平凡零点的实部，都正好等于1/2。
也就是说，在复平面上，所有这些非平凡零点都整齐地排列在一条垂直线上，这条线就是界线（σ=1/2）。
实际上，数学家们已经通过计算机验证了超过万亿个零点都在临界线上。
但万亿不是无穷。
只要不是无穷，不能涵盖所有，就不能确定它就是完整成立。
目前就是事实上，大家都相信黎曼猜想成立，但却始终无法证明，而只要不能证明，就不能说它就是完全成立。
就像20世纪之前，在相对论和量子力学没有发展起来前，牛顿的经典力学就可以解释宇宙万物，于是人们天真的认为，物理这座大厦已经完全建好了。
只有两朵乌云。
而这两朵乌云，正是后来相对论和量子力学。
人们也才知道，经典力学只适合常规的宏观环境，不适合微观和接近光速的高速下。
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